2011年北京邮电大学博士考试数学物理方法大纲

2011年北京邮电大学博士考试数学物理方法大纲  

一、矢量分析与场论、变分法、积分方程

1、 矢量分析与场论 （20%）

（1） 理解矢量函数与矢端曲线的定义及矢量函数极限和连续性的概念。

（2） 会求矢量函数的导数、微分、不定积分与定积分。

（3） 理解数量场（标量场）的等值面及方向导数与梯度的概念，熟悉有关运算公式。

（4） 理解矢量场的矢量线、矢量场的通量与散度、矢量场的环量与旋度的概念，熟悉有关运算公式。

（5） 熟练掌握梯度、散度、旋度、以及拉普拉斯方程的哈密顿算子（ ）表示法，熟悉梯度、散度和旋度的运算法则。

（6） 知道有势场、管形场和调和场的概念和性质。

（7） 会求解含有哈密顿算子（ ）的一些基本类型的场方程。

2、变分法  积分方程 （12%）

（1） 了解形如  及  的泛函在某条曲线 上取极值的含义及其必要条件，熟悉由该条件导出的欧拉（Euler）方程，并会求解由欧拉方程导出的常微分方程的初、边值问题（要求熟悉一阶和二阶线性常微分方程的解法）。

（2） 了解形如 或  的泛函取极值的必要条件及由此导出的欧拉方程的形式，并由这些欧拉方程推导出一些物理中常见的偏微分方程。

（3） 会用迭代法求解弗雷德霍姆（Fredholm）方程： 和伏特拉（Volterra）方程： 。

（4） 会将具有退化核： 的弗雷德霍姆方程化成代数方程来求解，并会讨论该积分方程何时有唯一解、有无穷解或无解。

二、特殊函数（20%）

1、（1）知道勒让德（Legendre）多项式的定义，熟悉 、 、 、 的具体表达式，熟悉罗德利克（Rodrigues）公式，能正确认出勒让德方程并能熟练地写出该方程本征（固有）值问题的本征值和本征（固有）函数系；

  (2) 熟知勒让德多项式的正交性质，会将有关函数展开成勒让德多项式的级数，并知道级数退化成多项式的条件以及这时函数展开的特殊方法。

2、（1）能正确认出贝塞尔（Bessel）方程，熟悉第一类和第二类贝塞尔函数的定义，会熟练地写出贝塞尔方程本征（固有）值问题的本征值和本征（固有）函数系。知道该本征函数系的带权正交性质，会将有关函数展开成贝塞尔函数系的级数，熟知模值计算公式。

  （2）熟悉第一类贝塞尔函数 与 之间的关系公式，以及 、 和 之间的关系公式，并且会用这些公式及其变型进行准确的推导与证明。

  （3）知道虚宗（变形）贝塞尔方程的形式、虚宗贝塞尔函数 的定义以及与 之间的关系，知道虚宗贝塞尔函数在求解某些圆柱内定解问题中的特殊应用。

三、数学物理方程的定解问题（48%）

1、了解三类基本方程（波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程）的推导方法，认识三类基本

方程的一般形式；了解初始条件和第一、第二和第三类边界条件所代表的物理意义。

2、理解二阶线性偏微分方程的分类，会将一般二阶线性偏微分方程化成标准型。

3、了解线性叠加原理及其应用。

4、熟练掌握分离变量法求解数学物理定解问题的步骤；会用分离变量法求解一维齐次波动方程和热传导方程以及二维拉普拉斯方程带有齐次边界条件的定解问题。

5、会用固有（本征）函数法求解非齐次方程带有齐次边界条件的定解问题。

6、会将定解问题中的非齐次边界条件齐次化并求解。

7、掌握本征（固有）值问题、本征值和本征函数的概念和意义，会求本征值问题的解（包括勒让德方程和贝塞尔方程的本征值问题）。

8、会求含有贝塞尔函数和勒让德多项式的定解问题。

9、了解行波法和积分变换法求解定解问题的思想；会用达朗贝尔（D’Alembert）公式求解一维无界波动问题。

10、了解格林（Green）函数法求解定解问题的思想和意义；熟悉几种特殊区域狄利克雷（Dirichlet）问题格林函数的求法；会用格林函数表示定解问题的解。